アルティン代数
アルティン代数（アルティンだいすう、英: Artin algebra, artin algebra）とは、可換アルティン環上の代数であり、基礎環上有限生成加群であるようなものである。例えば体上の有限次元多元環は、アルティン代数の典型例である。 さらに、有限次元多元環の表現論のほとんどの理論は、そのままアルティン代数へ一般化される。 よって、環の表現論といったときに有限次元多元環でやるかアルティン代数でやるかはほぼ好みの問題（や可換環への抵抗の多さ・少なさ）である。
英語の algebra の訳として「代数」と「多元環」の2つがあるが、本wikiでの使い分けについては多元環#用法についての注意を参照のこと。
定義[編集 | ソースを編集]
基礎環 $R$ に対して環 $\Lambda$ がアルティン $R$ 代数（Artin $R$-algebra, artin $R$-algebra）であるとは、$\Lambda$ が $R$ 代数であり、$R$ が可換アルティン環であり、$\Lambda$ を $R$ 加群と見たときに有限生成加群（$R$ がアルティンなので、これは長さ有限加群としても同じ）であるときを言う。また基礎環をずっと固定する場合は、単にアルティン代数（artin algebra）と呼ぶことも多い。
英語表記[編集 | ソースを編集]
英語では、界隈では artin algebra がよく用いられるが、Artin algebra, artinian algebra, Artinian algebra 等で表記されることもある。
性質[編集 | ソースを編集]
アルティン代数は両側アルティン環である。さらに、加群については次が基本的である。
可換アルティン環 $R$ 上のアルティン $R$ 代数 $\Lambda$ 上の加群 $M$ について、次は同値。
- $M$ は $\Lambda$ 加群として有限生成加群。
- $M$ は $\Lambda$ 加群として長さ有限加群
- $M$ は $R$ 加群として有限生成加群。
- $M$ は $R$ 加群として長さ有限加群。
特に、有限生成 $\Lambda$ 加群のなす圏は長さ有限アーベル圏である。
さらに、基礎環が可換アルティン環であることから、基礎環上のMatlis双対関手を用いることで、有限次元多元環の場合と同様に次の結果が成り立つ。
$R$ を可換アルティン環、$\Lambda$ をアルティン $R$ 代数とする。このとき、$R$ 上の極小移入余生成子 $E$（つまり $R /\rad R$ の移入包絡）をとり、それによるMatlis双対関手 \[ D := \Hom_\Lambda(-, E) \colon \mod R \to \mod R \] を考えると、これは有限生成右・左 $\Lambda$ 加群の圏の双対 \[ D := \Hom_\Lambda(-, E) \colon \mod \Lambda \to \mod \Lambda^{\mathsf{op}} \] を与える。
有限次元多元環のありがたみはk双対関手によるところが大きかったのを考えると、少し可換環の知識はいるがMatlis双対を用いることで全く同じ右と左加群の双対関手が得られるので、多元環でうまくいくものはほとんどアルティン代数でもうまくいくことが分かる。
表現論[編集 | ソースを編集]
何度か述べているとおり、アルティン代数と有限次元多元環では、その表現論はほとんど同じであり、差が出てくる箇所はあまり多くはない。よって多元環の表現論を参照のこと。
関連項目[編集 | ソースを編集]
一般概念[編集 | ソースを編集]
特殊概念[編集 | ソースを編集]
- 有限次元多元環