ネーター代数
ネーター代数（ネーターだいすう、英: Noetherian algebra, noetherian algebra）とは、可換ネーター環上の代数であり、基礎環上有限生成加群であるようなものである。
英語の algebra の訳として「代数」と「多元環」の2つがあるが、本wikiでの使い分けについては多元環#用法についての注意を参照のこと。
定義[編集 | ソースを編集]
基礎環 $R$ に対して環 $\Lambda$ がネーター $R$ 代数（Noetherian $R$-algebra, noetherian $R$-algebra）であるとは、$\Lambda$ が $R$ 代数であり、$R$ が可換ネーター環であり、$\Lambda$ を $R$ 加群と見たときに有限生成加群であるときを言う。また基礎環をずっと固定する場合は、単にネーター代数と呼ぶことも多い。
性質・使い道[編集 | ソースを編集]
まずネーター代数は両側ネーター環である。さらに、加群については次が基本的である。
可換ネーター環 $R$ 上のネーター $R$ 代数 $\Lambda$ 上の加群 $M$ について、次は同値。
- $M$ は $\Lambda$ 加群として有限生成。
- $M$ は $R$ 加群として有限生成。
よって、有限生成加群のなす圏を調べるという観点からすると、基礎環の可換ネーター環上の有限生成加群についての道具や概念や理論を用いることができる。 これは単に両側ネーター環であるというよりも遥かに多くの道具が使える。例えば、ネーター $R$ 代数 $\Lambda$ と $\Lambda$ 加群 $M$ に対して次のようなものはよく用いられる。
- $R$ のスペクトラム $\Spec R$ や、加群 $M$ に対して $R$ 加群としての台 $\Supp_R M$ や随伴素イデアルの集合 $\Ass_R M$。
- 素イデアル $\p \in \Spec R$ で局所化すると、ネーター $R_\p$ 代数 $\Lambda_\p$ 上の加群 $M_\p$ ができる。
- $R$ が（完備）ネーター局所環の場合の Matlis双対 $D$。
表現論[編集 | ソースを編集]
ネーター代数の表現論は、可換ネーター環の表現論と多元環の表現論の両方を含む。この方向で、それぞれの分野における結果をネーター代数において一般化しようという一つの大きな流れがあるようである。もともと整環の表現論はそのような流れを組んでいるが、整環まで仮定しなくてもネーター代数でもいろいろな理論がうまくいくことが多い。 例えば（TODO）