ネーター環

\( \newcommand{\proj}{\operatorname{\mathsf{proj}}} \newcommand{\mod}{\operatorname{\mathsf{mod}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rad}{\operatorname{rad}} \) 右ネーター環（みぎネーターかん、英: right Noetherian ring, right noetherian ring）とは、任意の右イデアルが有限生成であるような環である。右ネーターかつ左ネーターな環を両側ネーター環（two-sided Noetherian ring, two-sided noetherian ring）や単にネーター環と言う。

右ネーター環

環 $\Lambda$ が右ネーター（right Noetherian, right noetherian）であるとは、任意の $\Lambda$ の右イデアルが有限生成であるときを言う。またこれは環自身を右加群と見るととネーター加群であることである。

同値な定義

加群を考えるという立場からすると、次が基本である。

定理

環 $\Lambda$ について次は同値である。

• $\Lambda$ は右ネーター。
• 任意の有限生成右 $\Lambda$ 加群がネーター加群。
• 有限生成右 $\Lambda$ 加群の圏 $\mod\Lambda$ はアーベル圏となる。

環の表現論では有限生成加群を考えることが多く、その場合 $\mod \Lambda$ がそもそもアーベル圏であるのがうれしいので、よって大抵は右ネーター（普通は両側ネーターも）を課す場合が多い。

両側ネーター環

環 $\Lambda$ が両側ネーター（two-sided Noetherian, two-sided noetherian）とは、右ネーターかつ左ネーターなときを言う。 一般に、右ネーター環であっても左ネーターとは限らない。

TODO: そういう例を挙げる

環の表現論では、右加群と左加群を行き来するので、たいていは少なくとも両側ネーター環を考える。といってもやはり基礎環があるほうが便利なので、たいていはネーター代数まで強めて考えることが多いが。

例

• 有限次元多元環はもちろん両側ネーター環である。これはイデアルが結局は部分空間であることから、次元を考えればすぐに分かる。またアルティン環はネーター環であることからも従う：
• 右アルティン環は右ネーター環である：Hopkins–Levitzkiの定理。
• 可換ネーター環は両側ネーター環である。

関連項目

一般概念

• 連接環：任意の有限生成イデアルが有限表示であるような環。

特殊概念

• ネーター代数
• アルティン環：右アルティン環は右ネーター環であることが知られている。