可換環上の代数
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可換環上の代数（かかんかんじょうのだいすう、英: algebra over a commutative ring）とは、可換環上の加群に環構造が入った環のことである。特に可換環が体の場合のことを多元環と言う。
英語の algebra の訳として「代数」と「多元環」の2つがあるが、本wikiでの使い分けについては多元環#用法についての注意を参照のこと。
定義[編集 | ソースを編集]
可換環 $R$ に対して、$\Lambda$ が$R$ 代数であるとは、環準同型 $R \to \Lambda$ であって、その像が $\Lambda$の中心に入っているものが与えられているときを言う。この写像によって $\Lambda$ は $R$ 加群と見なせることに注意。
この場合、$R$ のことを $\Lambda$ の基礎環と呼ぶ。
使い道[編集 | ソースを編集]
基本的に基礎環がある代数を考えるほうが単に環を考えるよりも多くの操作ができるので便利であるが、何の制約もつけないと一般的すぎて多くのことは言えない。実際、全ての環は整数環 $\mathbb{Z}$ 上の代数であることがすぐに分かる。
よって、可換環上の代数の一般論というものはあまりなく、通常はネーター代数やアルティン代数や整環など、可換環 $R$ に制限をつけたり、$\Lambda$ の $R$ 加群としての構造に付加条件を課した上で考えることが多い。
注意[編集 | ソースを編集]
環 $\Lambda$ があったとき、その基礎環 $R$ や、$R$ 代数構造は、$\Lambda$ の環構造のみからは決まらない、独立した付加情報である。実際、任意の環 $\Lambda$ はその中心 $Z(\Lambda)$ 上の代数と見なせる。