移入加群

\( % ここにtexのマクロを書く \newcommand{\Ab}{\operatorname{\mathsf{Ab}}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\Mod}{\operatorname{\mathsf{Mod}}} \newcommand{\Inj}{\operatorname{\mathsf{Inj}}} \newcommand{\proj}{\operatorname{\mathsf{proj}}} \newcommand{\mod}{\operatorname{\mathsf{mod}}} \newcommand{\inj}{\operatorname{\mathsf{inj}}} \newcommand{\add}{\operatorname{\mathsf{add}}} \newcommand{\CC}{\mathcal{C}} \) 移入加群（いにゅうかぐん、英: injective module）とは、移入的という性質で定義されたホモロジー代数で基本的な概念である。入射加群とも呼ばれるが、本wikiでは移入加群に統一する。

基本的に射影加群の双対概念であるが、加群としての一般論は射影加群のものとは大きく異なる。「直感的な観点からは射影加群よりも分かりにくいが、ある観点からは射影加群よりもよい振る舞いをする」という特徴を持つ。

多元環の表現論においては、射影加群を考えることと移入加群を考えることは全く等価となり、移入加群についてより直感的、具体的な感触を楽しむことができる。

定義

移入性は同値な定義がいくつかあるが、下のものが一番典型的である。特に何も言わない限り全て 右 $\Lambda$ 加群の圏 $\Mod \Lambda$ で考える。

定義

環 $\Lambda$ 上の加群 $I$ が移入的（移入加群）であるとは、次の条件をみたすときを言う：

• 任意に全射 $f \colon L \hookrightarrow M$ と射 $\varphi \colon L \to I$ があったとき、これは $f$ を経由するようリフトする、すなわちある$\overline{\varphi}\colon M \to I$ が存在して $\varphi = \overline{\varphi} f$ となる。

TODO: 可換図式（リフトのやつ）をアップして貼り付ける

同値な定義

射影加群の定義にはさまざまな同値な定義がある。まず以下は、任意のアーベル圏や完全圏で成り立つ同値条件である。

命題

環 $\Lambda$ 上の加群 $I$ について以下は同値。

1. $I$ は射影加群。
2. $\Hom_\Lambda(-, I) \colon \Mod\Lambda \to \Ab$ は完全関手（この関手は常に左完全ではあるので、つまり単射を全射に移す）。
3. 任意の短完全列 $0 \to I \to Y \to Z \to 0$ は分裂する。つまり、任意の $I$ からの単射は分裂単射となる。

これらはほとんど定義からすぐ分かる（最後の条件との同値性はpullbackを使う必要があると思われる）。

一方で、射影加群には「射影加群とは自由加群の直和因子である」という具体的な特徴づけがあったが、同様の主張を移入加群で述べることは少し大変である。これは、「任意の加群は自由加群（これは特に射影加群）からの全射を持つ」という主張の双対が必要になることに依存する。

これらのもとで、一応次の明確な特徴づけを与えることはできる。

定理

環 $\Lambda$ 上の極小移入余生成子 $E$ を一つ固定する。このとき、$\Lambda$ 加群 $I$ について次は同値。

1. $I$ は移入加群である。
2. $I$ は $E$ の（無限も含めた）直積の直和因子である。

詳しくは移入余生成子を参照。証明は、「任意の加群は $E$ の直積への単射を持つ」ことを使えば、射影加群の場合と同様である。

さらにネーター環上で考えるとよりよい性質があったり、また有限次元多元環の場合にはもっと具体的な記述を持つ。

記法

射影加群のなす圏の記法として下のものが標準的である。

• $\Inj\Lambda$：全ての（無限生成を含む）移入加群のなす圏。
• $\inj\Lambda$：有限生成移入加群のなす圏（ただし環がアルティンでない場合は、移入加群はあまり有限生成になることはない）。

また、アーベル圏や完全圏 $\CC$ のなかの射影対象のなす圏の記法は、人によって異なるが、例えば圏 $\mathcal{I}(\CC)$ や $\inj \CC$ という記法がある。ただ後者は、移入的 $\CC$ 加群のなす圏（圏上の加群参照）を指すこともあるので注意が必要である。

多元環上の移入加群

ネーター環上の移入加群については多くの一般論があるが、少し抽象的であるので、まず移入加群と射影加群が全く同じように扱える有限次元多元環の場合に記述を与える。

k双対を使った記述

体 $k$ 上有限次元多元環 $\Lambda$ をとり、有限生成右・左 $\Lambda$ 加群のなす圏をそれぞれ $\mod\Lambda$、$\mod \Lambda^\mathsf{op}$とする。このとき、次のことが成り立つ（k双対参照）。

命題

\[ D := \Hom_k,(-,k) \colon \mod\Lambda \leftrightarrow \mod\Lambda^\mathsf{op} \] はアーベル圏の双対である。

これを用い、また $\mod\Lambda$ の射影対象はちょうど $\proj\Lambda = \add \Lambda$ であったことから、次が従う。

系

有限次元多元環 $\Lambda$ について、次が成り立つ。

1. 圏 $\mod\Lambda$ は移入的に豊富である。
2. 有限生成移入右加群は、ちょうど $(D\Lambda)_\Lambda$ の直和因子の有限直和である。
3. 特に、$\Lambda$ の原始冪等元分解 $ 1 = e_1 + e_2 + \cdots + e_n$ を取ると、直既約移入加群は $D(\Lambda e_i)$ と書ける。

箙多元環の場合

有限次元多元環が箙多元環であった場合、加群は箙の表現と見なせるが、その場合の移入加群は具体的に記述することができる。 これは射影加群の記述の双対である。

書きかけの項目． この項目は、書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

ネーター環上の移入加群

射影加群との関係

中山関手

関連項目

一般概念

• 純移入加群

双対概念

• 射影加群

特殊概念

• 移入余生成子

その他

• 自己移入環
• 移入包絡