全行列環

\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \)

書きかけの項目． この項目は、書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。

環上の全行列環（ぜんぎょうれつかん、英: total matrix ring）とは、その環を成分とする正方行列のなす環である。

定義

環 $\Lambda$ と非負整数 $n > 0$ に対して、全行列環は通常 $M_n(\Lambda)$ で表される。これは、$n \times n$ の正方行列のなす環である： \[ M_n(\Lambda) = \left \{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \, \middle\vert\, a_{ij} \in \Lambda \right \} \]

同値な定義

右 $\Lambda$ 加群 $\Lambda^n$ に対して、$\End_\Lambda(\Lambda^n)$ は $M_n(\Lambda)$ と同型である。

性質

もとの環 $\Lambda$ と $M_n(\Lambda)$ は森田同値であるので、多くの性質を共有する。

注意

$\Lambda$ が可換でないと、行列式等を考えることができないことは注意が必要。