冪等完備加法圏
加法圏が冪等完備（べきとうかんび、英: idempotent complete）であるとは、任意の冪等射が分裂するときを言う。例えばアーベル圏の中の直和因子で閉じた部分圏は冪等完備であるので、多元環の表現論で現れるほとんどの圏は冪等完備である。このことから、冪等完備加法圏は直感的には直和因子で閉じた圏と思える。
定義[編集 | ソースを編集]
圏 $\CC$ の冪等射とは、$e^2 = e$ を満たす $\CC$ の射 $e \colon X \to X$ のことである。 加法圏 $\CC$ に対して、まず次が成り立つ。
次の条件は全て同値。
- 任意の冪等射は核を持つ。
- 任意の冪等射は余核を持つ。
- 任意の冪等射 $e \colon X \to X$ は分裂する、すなわちある射 $r \colon X \to M$ と $s \colon M \to X$ であって、$rs = 1_M$ かつ $e = s r$ となるものが存在する。
- 任意の冪等射 $e \colon X \to X$ は次の形の射と同型である（つまりある同型 $\varphi \colon X \xrightarrow{\sim} M \oplus N$ を通して次の射になる）。
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \colon M \oplus N \to M \oplus N \]
これらの同値な条件を満たすとき、$\CC$ を冪等完備という。
例[編集 | ソースを編集]
冪等完備な加法圏の重要な例は次の命題から来る：
加法圏 $\AA$ が冪等完備とし、その加法部分圏 $\CC$ を考える。このとき次は同値である：
- $\CC$ が冪等完備。
- $\CC$ は $\AA$ の中で直和因子で閉じる、つまり $M \oplus N \in \CC$ ならば $M, N \in \CC$。
（1ならば2）： 加法部分圏 $\CC$ が冪等完備とし、$M \oplus N \in \CC$ とする。このとき、冪等射 \[ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \colon M \oplus N \to M \oplus N \] を考える。これが $\CC$ の中で分裂する一方で、$\AA$ の中でも自然な $M$ への射影と埋め込みに分裂する。一般に冪等射の分裂の仕方は一意的なので、$\CC$ での分裂先は $M$ と同型になり、部分圏 $\CC$ は同型で閉じる（ことを慣習により仮定していた）ので $M \in \CC$ が従う。
（2ならば1）： これも上の証明とほぼ同様で、いろんなやり方があると思う。任意に $\CC$ の冪等射 $e \colon X \to X$ を取ると、$\AA$ が冪等完備なことからその $\AA$ での核 $N$ が存在するが、$N$ は $X$ の直和因子である。よって仮定から $N$ は $\CC$ に入り、よって $e$ は $\CC$ においても核を持つことが従う。
これを用いて次のような例ができる。
- アーベル圏は冪等完備（なぜなら核と余核を持つから）。
- アーベル圏の中の、直和因子で閉じた部分圏も冪等完備。
しかし三角圏は一般に冪等完備とは限らないが、次のような例がある。
次の三角圏は冪等完備。
- 可算無限直和（または可算無限直積）を持つ三角圏。
- アーベル圏 $\AA$ の非有界導来圏 $\DDD(\AA)$。
- アーベル圏 $\AA$ の有界導来圏 $\DDD^b(\AA)$。
よって、これらの三角圏の中で、直和因子で閉じた部分圏は冪等完備である。
さらに、定義からすぐには分からないがKrull-Schmidt圏は冪等完備であることが知られている。
有限生成射影加群の圏との関連[編集 | ソースを編集]
冪等完備加法圏は、必ず有限生成射影加群のなす圏として実現することができる（ただし圏上の加群の意味で）。より明確には、加法圏 $\CC$ が冪等完備であることと、米田埋め込み $\CC \to \Mod\CC$ が $\CC$ と有限生成射影 $\CC$ 加群のなす圏との圏同値を与えることが同値である。詳しくは射影加群#Auslanderの射影化参照。