半単純環

半単純環（はんたんじゅんかん、英: semisimple ring）とは、自身を右加群と見たときに半単純加群であるような環のことである。

定義

環 $\Lambda$ が半単純であるとは、$\Lambda_\Lambda$が半単純右 $\Lambda$ 加群なときをいう。この定義から直ちに分かることではないが、右加群の代わりに左加群と考えても同じである（下の定理を参照のこと）。よって、$\Lambda$ が半単純なことと、$\Lambda^{\mathsf{op}}$ が半単純なことは同値である。

Artin-Wedderburnの定理

半単純環には多くの特徴づけがある。これの一部（とくに行列環の直積との同型など）をArtin-Wedderburnの定理と呼ばれる。

定理（Artin-Wedderburnの定理）

環 $\Lambda$ について次は同値である。

• $\Lambda$ は右 $\Lambda$ 加群として半単純加群。
• $\Lambda$ は右 $\Lambda$ 加群として単純右加群の有限直和と同型。
• 任意の右 $\Lambda$ 加群は半単純加群。
• 任意の右 $\Lambda$ 加群は射影加群。
• 任意の右 $\Lambda$ 加群は移入加群。
• $\Lambda$ の右大域次元は0。
• $\Lambda$ は次の形の環と同型：$M_{n_1}(D_1) \times M_{n_2}(D_2) \times \cdots \times M_{n_l}(D_l)$、ここで、各$n_i$は非負整数で$D_i$は可除環、また$M_n(D)$は $n$ 次全行列環を表す。
• 上に出てくる各条件の「右」を「左」に変えたもの。

関連項目

一般概念

• アルティン環：半単純環は加群とみて有限生成半単純、よって長さが有限なので両側アルティン環である。
• Jacobson半単純環
• von Neumann正則環

特殊概念

• 単純アルティン環

その他

• 単純環：単純環は半単純環とは限らない。