半完全環

\( \newcommand{\proj}{\operatorname{\mathsf{proj}}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\rad}{\operatorname{rad}} \) 半完全環（はんかんぜんかん、英: semiperfect ring）とは、多くの同値な定義があるが、任意の有限生成加群が射影被覆を持つような環のことである。この定義からは左右対称性は分からないが、実際には左右対称な概念である。

定義

環 $\Lambda$ が半完全であるとは、任意の有限生成右 $\Lambda$ 加群が射影被覆を持つときを言う。

同値な定義

半完全環には多くの特徴づけがある。

定理

環 $\Lambda$ について次は同値である。

• $\Lambda$ は半完全。
• 反対環 $\Lambda^\mathsf{op}$ は半完全。つまり任意の有限生成左 $\Lambda$ 加群は射影被覆を持つ。
• $\Lambda$ は半局所環であり（つまり $\Lambda/\rad\Lambda$ が半単純）、任意の $\Lambda/\rad \Lambda$ のべき等元は $\Lambda$ のべき等元にリフトする（$\rad \Lambda$ はJacobson根基）。
• 有限生成右射影加群のなす圏 $\proj\Lambda$ はKrull-Schmidt圏。
• $\Lambda$ を右（もしくは左）加群とみると、有限個のEnd局所加群の直和に分解される。つまり、

\[ \Lambda = P_1 \oplus P_2 \oplus \cdots \oplus P_n \] という直和分解であり、各 $\End_\Lambda(P_i)$ が局所環であるような分解が存在する。

一番最後の特徴づけが、一番初学者に伝わりやすく分かりやすい定義であり、確かめるのも具体的で容易である。

例

任意の片側アルティン環は半完全である（より強く完全環になる）。よって有限次元多元環は半完全である。

また可換ネーター環やネーター代数や整環の表現論では次の事実が重要である：

定理

可換ネーター局所環 $R$ について次は同値。

1. $R$ はヘンゼル環（例えば完備ネーター局所環）。
2. 任意のネーター $R$ 代数は半完全環である。

関連項目

一般概念

• 半局所環：$\Lambda/\rad\Lambda$ が半単純であるような環。

特殊概念

• 完全環：任意の（無限生成も許した）右加群が射影被覆を持つような環。