煉瓦（brick）

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\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \) 煉瓦（れんが、英: brick）とは、自己準同型環が可除環であるような加群のことである。

定義

$\Lambda$ 加群 $M$ が煉瓦であるとは、$\End_\Lambda(M)$が加除環なときをいう。つまり、任意の0でない自己準同型 $f \colon M \to M$ が同型射なときをいう。これはSchurの補題の観点から単純加群を一般化したものである。

煉瓦は必ず直既約加群である。何故ならば自己準同型環が可除なのでべき等元が自明なものしかないからである。下で述べるように、良いクラスの多元環については全ての直既約加群は煉瓦となることもあるが、一般には全く異なる（典型例として、体 $k$ 上の多元環 $k[x]/(x^2)$ を考えると、これは局所環なので加群とみて直既約だが、自己準同型環は自身なので可除ではない）。

多元環の表現論において

全ての直既約が煉瓦な状況

有限表現型の遺伝的多元環においては、全ての直既約加群は煉瓦である。他にもありそう。

他の加群・部分圏との関係

join-irred torsion classやらとかtau-tiltingとか？