FD Wiki:記法と慣習

\( \newcommand{\mod}{\operatorname{\mathsf{mod}}} \newcommand{\Mod}{\operatorname{\mathsf{Mod}}} \newcommand{\proj}{\operatorname{\mathsf{proj}}} \newcommand{\Proj}{\operatorname{\mathsf{Proj}}} \newcommand{\inj}{\operatorname{\mathsf{inj}}} \newcommand{\Inj}{\operatorname{\mathsf{Inj}}} \newcommand{\CC}{\mathcal{C}} \newcommand{\Ab}{\mathsf{Ab}} \newcommand{\add}{\operatorname{\mathsf{add}}} \newcommand{\ind}{\operatorname{\mathsf{ind}}} \) 本wikiを通して用いる一般的な慣習と記号は以下の通りです。

慣習

環と加群

• 環とは結合的で単位的な環を指す。
• 加群とは、断りがない限りは環上の右加群を指す。
• 加群の間の射とは準同型のことを指す。

圏

• 前加法圏の間の関手は、常に加法関手であることを仮定する。
• 圏の部分圏は、常に充満部分圏で、同型で閉じることを仮定する。

記法

一般の環と加群

環 $\Lambda$ について、次の圏を定める（全て冪等完備な加法圏である）。

• $\Mod \Lambda$：全ての右 $\Lambda$ 加群のなす圏。これはアーベル圏であり、また射影的に豊富なGrothendieck圏になる。
• $\mod \Lambda$：有限表示右 $\Lambda$ 加群のなす圏。これは $\Lambda$ が右ネーター環のときは有限生成加群の圏と一致し、射影的に豊富なアーベル圏となる。一般に $\mod\Lambda$ がアーベル圏とは限らないが、$\Lambda$ が連接環のとき、またそのときに限りアーベル圏となる。
• $\Proj \Lambda$：射影右 $\Lambda$ 加群のなす圏。
• $\proj \Lambda$：有限生成射影右 $\Lambda$ 加群のなす圏。
• $\Inj \Lambda$：移入右 $\Lambda$ 加群のなす圏。
• $\inj \Lambda$：有限生成移入右 $\Lambda$ 加群のなす圏。

また、$M$ が右（resp. 左） $\Lambda$ 加群であることを強調するときは $M_\Lambda$（resp. $_\Lambda M$）と書く。同様に、両側 $(\Lambda, \Gamma)$ 双加群であることを強調するときは$_\Lambda M_\Gamma$ と書く。

圏

• $\Ab$：アーベル群のなす圏、つまり $\Mod \mathbb{Z}$ のこと。

加法圏 $\CC$ とその対象 $M \in \CC$ について、次の圏と記法を定める。

• $\add M$ で、$M$ の有限直和の直和因子からなる $\CC$ の部分圏。

さらに $\CC$ がKrull-Schmidt圏のとき、次を定める。

• $\ind \CC$ で、$\CC$ の直既約対象の同型類の集まり。
• $|M|$で、$M$の非同型な直既約直和因子の個数。これは$\# \ind (\add M)$ と一致する。