Krull-Schmidt圏

\( \newcommand{\CC}{\mathcal{C}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\ind}{\operatorname{\mathsf{ind}}} \) Krull-Schmidt圏（クルル・シュミットけん、英: Krull-Schmidt category）とは、任意の対象が自己準同型環が局所環であるような対象の有限直和で表されるような圏のことである。この圏では直既約分解の存在と一意性（Krull-Schmidtの定理）が成り立つ。多元環の表現論で現れる多くの圏はKrull-Schmidtであり、一般の環や圏の研究でも、考える圏がKrull-Schmidtになるように仮定をすることが多い。

Krull-Schmidt圏のありがたいことの一つは、「Krull-Schmidt圏 $\CC$ の対象や部分圏を考えることは、直既約対象の同型類の集合 $\ind \CC$ の部分集合を考えることと同じ」になり、組合せ論的な直感が働きやすいことである。また、射を極小射に取り替えたりといった操作も可能なこともメリットの一つである。

定義

圏 $\CC$ がKrull-Schmidtであるとは、次の条件が満たされるときを言う。

1. $\CC$ は加法圏であり、骨格的に小さい、すなわち対象の同型類全体が集合になる。
2. 任意の対象 $C \in \CC$ に対して、ある同型 $C \cong M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_n$ が存在して、$\End_\CC(M_i)$ が局所環となる。

2番目の条件で、一般に $\End_\CC(M)$ が局所環（$M$がEnd直既約）ならば $M$ は直既約なことに注意。

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